Kualitatif dan
Kuantitatif Sejarah Matematika
Dalam mempelajari
sejarah matematika harus memperhatikan aspek kualitatif dan kuantitatif. Dalam artian
pengetahuan akan berkembangnya matematika merupakan komponen penting. Cakupan
semakin luas semakin menarik dan asyik mengarungi samudera matematika. Terlebih
karena mengerti dan memahami seluk beluk sesuatu hal tentang matematika itu
muncul. Diri terasa menjadi lebih matematika. Tak ada kata terlambat untuk
melangkahkan di dunia matematika. Kapanpun dimanapun diri inilah adalah
matematika. Jejak pertama diri ini memaparkan memori sejarah matematika tentang
determinan, segitiga pascal, dan kalkulus.
A. Determinan
Seki Kowa mempublikasikan
konsep determinan pertama kali di Jepang tahun 1683. Seki menulis buku Method of Solving the dissimulated problems
yang memuat metode matriks. Akan tetapi Seki Kowa belum menggunakan istilah
determinan dalam memaparkan konsep determinan ini. Walaupun Seki Kowa telah
memperkenalkan bentuk determinan dan memberi metode umum untuk menghitungnya. Seki
Kowa menemukan determinan khusus untuk matriks ordo 2 x 2, 3 x 3 , 4 x 4, 5 x 5
saja.
Setelah itu diikuti Leibniz
dalam suratnya ke 1’Hopital tahun 1683 di Eropa menjelaskan sistem persamaan
misalnya :
10+11x+12y=0
20+21x+22y=0
30+31x+32y=0
Hanya memiliki satu
penyelesaian karena 10.20.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30 yang
tidak lain merupakan syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz
sesungguhnya tidak bermaksud menggunakan bilangan, adapun yang dinyatakan
dengan 21 adalah a21. Leibniz menggunakan istilah resultant untuk kombinasi hasil kali
koefisien dari determinan tersebut.
Seiring bergulirnya waktu
Maclurin menulis Treatise of algebra pada
tahun 1730 dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku memuat pembuktian Aturan
Cramer untuk matriks 2 x 2 dan 3 x 3. Selajutnya konsep determinan diperjelas
oleh Cramer pada tahun 1750 dalam buku Introduction
to the analysis of algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan
Cramer pada matriks n x n tetapi tidak ada bukti yang diberikan. Tahun 1764,
Bezout memberikan sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde pada
tahun 1771. Dan tidak kalah pentingnya tahun 1722, Laplace menggambarkan aturan
ekspansi Laprace dan ia menamakan determinan dengan resultant.
Istilah determinan
pertama kali digunakan oleh Gauss dalam Disquistiones
arithmeticae (1801). Dalam buku tersebut terdapat dalam pembahasan
bentuk-bentuk kuadrat dengan menggunakan determinan. Cauchy pada tahun 1812 memaparkan
istilah Eliminasi Gauss, yang telah digunakan di Cina tahun 200 SM dimana orang
pertama menggunakan istilah determinant
dalam konteks modern. Karya-karya Cauchy hampir mewakili konsep determinan
modern. Dia merintis konsep ‘minor’ dan ‘adjoints’, serta hasil kali matriks. Dalam
karya tahun 1841 ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk menunjukkan
determinan.
Dalam saat ini konsep
Cauchy dapat dinyatakan seperti berikut.
Determinan dengan Minor
dan kofaktor
Kofaktor dan minor hanya
berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada i.
det(A3x3)
det(A3x3)
= a11(a22a33 - a23a32) -
a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 +
a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
B. Segitiga Pascal
Gambaran awal muncul pada abad ke-10
dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba dalam prosodi bahasa
Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5–ke-2 SM. Karya Pingala juga
dipaparkan oleh Halayudha, sekitar 975, menggunakan sebuah segitiga untuk
menjelaskan sebutan kabur pada Meru-prastaara, “Tangga Gunung Meru”. Selanjutnya
ahli matematika India Bhattotpala (1068) memberikan barisan angka 0 sampai16 pada
segitiga tersebut.
Pada waktu yang sama, di Parsi
(Iran) oleh ahli matematika Al-Karaji (953–1029) dan penyajak-ahli
nujum-matematik Omar Khayyám (1048-1131) mengkaji segitiga dan menyebutkan
segitiga pascal sebagai “segitiga Khayyam” di Iran. Segitiga Khayyam
menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berdasarkan pengembangan
binomial.
Pada abad ke-13, Yang Hui
(1238-1298) di China menyampaikan segitiga aritmetik, yang hampir sama dengan segitiga
pascal. Dikenal sebagai “segi tiga Yang Hui”. Tak kalah di Itali segitiga
paskal disebut sebagai “segitiga Tartaglia”, dinamakan untuk ahli algebra Itali
Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum Pascal (1500-1577). Tartaglia
diwujudkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin
dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).
Petrus Apianus ( 1495 -1552 )
menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi depan bukunya tentang perniagaan
1531/32 dan suatu versi asal pada 1527 yang merupakan rekod pertamanya di
Eropah.
Pada 1655, Blaise Pascal menulis
sebuah Traité du triangle arithmétique (Perjanjian pada segitiga aritmetik),
yaitu dia mengumpul beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segitiga
itu, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segitiga
itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort
(1708) dan Abraham de Moivre (1730). Sehingga dikenal sebagai segitiga pascal
hingga saat ini.
C. Kalkulus
Perkembangan
kalkulus melai zaman kuno, zaman pertengahan,
dan zaman modern. Pada periode zaman kuno,
beberapa konsep kalkulus integral telah namun tidak dikembangkan dengan baik. Perhitungan
volume
dan luas yang merupakan komponen utama dari kalkulus integral oleh Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana
orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid.
Archimedes
mengembangkan konsep ini dengan menciptakan heuristik
yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan,
matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil
takterhingga pada tahun 499 dan
mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial
dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk
mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga
dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar
tahun 1000,
matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang
pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan
dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu
metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat
penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi
menemukan turunan
dari fungsi kubik,
sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom
dari Mazhab astronomi
dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7],
yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern,
penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti
Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan
seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam
kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus
khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya
dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,
namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya
dilakukan secara terpisah.
Leibniz
dan Newton
mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua
orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam
waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke
bidang fisika
sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan
sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz
mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara
matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan
terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi
Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society
Pemeriksaan secara
terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz
memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan
Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah.
Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai
kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak saat itu kalkulus
dibedakan menjadi dua yaitu kalkulus integral dan kalkulus diferensial atau
turunan.