Senin, 19 Maret 2012

Tugas Sejarah Matematika ke-4

Kualitatif dan Kuantitatif Sejarah Matematika

            Dalam mempelajari sejarah matematika harus memperhatikan aspek kualitatif dan kuantitatif. Dalam artian pengetahuan akan berkembangnya matematika merupakan komponen penting. Cakupan semakin luas semakin menarik dan asyik mengarungi samudera matematika. Terlebih karena mengerti dan memahami seluk beluk sesuatu hal tentang matematika itu muncul. Diri terasa menjadi lebih matematika. Tak ada kata terlambat untuk melangkahkan di dunia matematika. Kapanpun dimanapun diri inilah adalah matematika. Jejak pertama diri ini memaparkan memori sejarah matematika tentang determinan, segitiga pascal, dan kalkulus.
A.      Determinan
Seki Kowa mempublikasikan konsep determinan pertama kali di Jepang tahun 1683. Seki menulis buku Method of Solving the dissimulated problems yang memuat metode matriks. Akan tetapi Seki Kowa belum menggunakan istilah determinan dalam memaparkan konsep determinan ini. Walaupun Seki Kowa telah memperkenalkan bentuk determinan dan memberi metode umum untuk menghitungnya. Seki Kowa menemukan determinan khusus untuk matriks ordo 2 x 2, 3 x 3 , 4 x 4, 5 x 5 saja.
Setelah itu diikuti Leibniz dalam suratnya ke 1’Hopital tahun 1683 di Eropa menjelaskan sistem persamaan misalnya :
10+11x+12y=0
20+21x+22y=0
30+31x+32y=0
Hanya memiliki satu penyelesaian karena 10.20.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30 yang tidak lain merupakan syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz sesungguhnya tidak bermaksud menggunakan bilangan, adapun yang dinyatakan dengan 21 adalah a21­. Leibniz menggunakan istilah resultant untuk kombinasi hasil kali koefisien dari determinan tersebut.
Seiring bergulirnya waktu Maclurin menulis Treatise of algebra pada tahun 1730 dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku memuat pembuktian Aturan Cramer untuk matriks 2 x 2 dan 3 x 3. Selajutnya konsep determinan diperjelas oleh Cramer pada tahun 1750 dalam buku Introduction to the analysis of algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan Cramer pada matriks n x n tetapi tidak ada bukti yang diberikan. Tahun 1764, Bezout memberikan sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde pada tahun 1771. Dan tidak kalah pentingnya tahun 1722, Laplace menggambarkan aturan ekspansi Laprace dan ia menamakan determinan dengan resultant.
Istilah determinan pertama kali digunakan oleh Gauss dalam Disquistiones arithmeticae (1801). Dalam buku tersebut terdapat dalam pembahasan bentuk-bentuk kuadrat dengan menggunakan determinan. Cauchy pada tahun 1812 memaparkan istilah Eliminasi Gauss, yang telah digunakan di Cina tahun 200 SM dimana orang pertama menggunakan istilah determinant dalam konteks modern. Karya-karya Cauchy hampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis konsep ‘minor’ dan ‘adjoints’, serta hasil kali matriks. Dalam karya tahun 1841 ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk menunjukkan determinan.
Dalam saat ini konsep Cauchy dapat dinyatakan seperti berikut.
Determinan dengan Minor dan kofaktor
Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada i.
det(A3x3)
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

B.      Segitiga Pascal
Gambaran awal muncul pada abad ke-10 dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba dalam prosodi bahasa Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5–ke-2 SM. Karya Pingala juga dipaparkan oleh Halayudha, sekitar 975, menggunakan sebuah segitiga untuk menjelaskan sebutan kabur pada Meru-prastaara, “Tangga Gunung Meru”. Selanjutnya ahli matematika India Bhattotpala (1068) memberikan barisan angka 0 sampai16 pada segitiga tersebut.
Pada waktu yang sama, di Parsi (Iran) oleh ahli matematika Al-Karaji (953–1029) dan penyajak-ahli nujum-matematik Omar Khayyám (1048-1131) mengkaji segitiga dan menyebutkan segitiga pascal sebagai “segitiga Khayyam” di Iran. Segitiga Khayyam menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berdasarkan pengembangan binomial.
Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) di China menyampaikan segitiga aritmetik, yang hampir sama dengan segitiga pascal. Dikenal sebagai “segi tiga Yang Hui”. Tak kalah di Itali segitiga paskal disebut sebagai “segitiga Tartaglia”, dinamakan untuk ahli algebra Itali Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum Pascal (1500-1577). Tartaglia diwujudkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).
Petrus Apianus ( 1495 -1552 ) menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi depan bukunya tentang perniagaan 1531/32 dan suatu versi asal pada 1527 yang merupakan rekod pertamanya di Eropah.
Pada 1655, Blaise Pascal menulis sebuah Traité du triangle arithmétique (Perjanjian pada segitiga aritmetik), yaitu dia mengumpul beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segitiga itu, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segitiga itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort (1708) dan Abraham de Moivre (1730). Sehingga dikenal sebagai segitiga pascal hingga saat ini.

C.     Kalkulus
 Perkembangan kalkulus melai zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa konsep kalkulus integral telah namun tidak dikembangkan dengan baik. Perhitungan volume dan luas yang merupakan komponen utama dari kalkulus integral oleh Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan konsep ini dengan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak saat itu kalkulus dibedakan menjadi dua yaitu kalkulus integral dan kalkulus diferensial atau turunan.

Senin, 12 Maret 2012

Tugas Sejarah Matematika ke-3

Ruang dan Waktu Sejarah Matematika

            Mempelajari sejarah matematika akan mencakup ruang dan waktu. Ruang merupakan alat atau metode yang erat sekali dengan waktu. Dalam ruang yang berbeda mengeluarkan waktu yang berbeda pula. Perbedaan ini sungguh diartikan dalam sebuah metode penginderaan. Karena ruang dan waktu hanya dapat didapatkan dalam indera penglihatan dimana melalui kerangka proses berpikir.
            Kerangka ini mengakibatkan berkembangnya ruang dan waktu. Metode berpikir yang silih berganti sesuai keadaan yang dimiliki memberi inovasi tersendiri akan dunia ruang dan waktu. Dua dimensi ruang dan waktu muncul secara bersama. Waktu akan terus berjalan mengiringi ruang. Ruang akan berhenti terbentuk jika waktu berhenti. Hal ini menunjukkan adanya korespondensi dimensi ruang dan waktu. Terdapat pemetaan antara ruang dan waktu.
            Pikiran memberikan suatu ide menuju konsep melalui sepenggal metode menghasilkan produk bermanfaat. Dari dimensi waktu yang bergulir menginisiatifkan pikiran untuk selalu berproduksi. Hasil produksi ini digunakan dalam kelangsungan kehidupan manusia. Dalam kenyataannya kehidupan manusia tak akan konstan. Melangkahkan perubahan sedikit demi sedikit mengisyaratkan dimensi ruang dan waktu itu sungguh ada.
            Produk pikiran dapat berupa elektronik atau berbentuk alat dan ide itu sendiri. Dalam artian ide tersebut diprioritaskan menjadi titik berat. Sehingga dapat dikatakan ide tersebut adalah ilmu. Sisi yang lebih penting dikuatkan oleh kombinasi antara interaksi manusia dengan perbedaan cara berpikir seseorang. Menjadikan konteks utama dalam proses sejarah matematika.
            Elektronik diartikan sesuatu yang dibuat manusia menghasilkan benda. Sejarah matematika mengillustrasikan contoh elektronik berupa artefak. Dimensi artefak hidup pada zaman kuno dari proses hancurnya sebuah kerajaan karena adanya koloni. Titik yang berjajar membentuk garis. Garis yang berbeda arah bertemu pada satu titik sudut membentuk bidang. Bidang yang bersinggungan menjadi batas suatu ruang membentuk bangun ruang. Proses pembentukan bangun ruang tidak terpisah dari waktu.   Begitu juga dengan artefak proses pembentukan ruang tidak terpisah dari waktu.        
 Irama artefak dipaparkan dengan perkembangan matematika terekam dalam dimensi ruang kebudayaan besar Mesopotamia, Babylonia, Mesir Kuno, Yunani Kuno, India Kuno, China Kuno, Arab Kuno, Persia, dan Eropa Kuno, serta zaman modern yang sebagian besar terpusat di Eropa. Sedangkan dimensi waktu secara terurut meliputi zaman Archaic, Tribal, Tradisional, Feodal, Modern, POS Modern, Power Modern, Kontemporer atau POS POS Modern.
            Salah satu bukti adanya korespondensi dimensi ruang dan waktu sebagai berikut. Dimensi ruang Babylonia Mesir Kuno berada pada dimensi waktu zaman Archaic, Tribal, Tradisional. Dimensi ruang Yunani Kuno berada pada dimensi waktu zaman Tradisional, Feodal. Zaman modern yang ada dalam dimensi ruang di atas bukan merupakan zaman modern yang dikenal orang masa sekarang. Pada zaman sekarang modern ditinjau dari bukunya Phytagoras, Euclides, Leoniz.  

Senin, 05 Maret 2012

Proses Menuju Matematika Adalah Diriku

            Matematika merupakan induk dari segala ilmu. Bisa diasumsikan sebagai raja untuk sebuah kerajaan ilmu. Karena matematika menjadi dasar atau tumpuan pokok bagi ilmu lain. Namun bukan berarti tidak ada hubungan yang sinergi dengan ilmu lain. Keagungan matematika berdalil dalam teorema dan aksioma membuat istimewa. Tak terlepas dari bagian dirinya inilah sejarah matematika. Sejarah matematika yang merekam semua memori akan proses kejadian sampai terwujudnya suatu ide matematika. Perjalanan yang menempuh permasalahan membuat sejarah metematika terus melaju dengan kencang dengan segala upaya dan kekuatan demi pecahnya suatu permasalahan.
      Matematika bukanlah ilmu yang selalu menganut rumus-rumus ajaib untuk pencapaian model matematika. Terlebih dalam kehidupan nyata inilah matematika ada dan berkembang. Perkembangan inilah yang menghiasi indahnya sejarah matematika. Alkisah komposisi sejarah matematika yaitu angka, ruang, simbol, dan inferensi.
Tak kenal angka maka tak sayang. Begitulah ungkapan yang pantas untuk angka. Karena konsep angka hampir selalu menjadi hal pertama yang terlintas dalam pikiran ketika matematika disebutkan. Dari cara paling sederhana yaitu dengan menggunakan jari seperti dilakukan anak sebelum sekolah, diungkapkan pada teorema Fermat yang terakhir. Angka merupakan komponen fundamental dalam dunia matematika.
Ruang dapat dikatakan pengorganisasian obyek fisik dalam pikiran. Kesadaran itu muncul dari hubungan keruangan menjadi bawaan yang harus memiliki pemahaman secara naluriah ruang dan waktu untuk bergerak sengaja. Ketika orang mulai memiliki intellectualize pengetahuan yang intuitif, salah satu upaya pertama untuk mengaturnya yaitu terlibat ilmu geometri dalam aritmatika. Satuan panjang, luas, volume, berat, dan waktu dipilih, dan pengukuran jumlah ini terus berkurang untuk menghitung secara imajinatif. Sejak masa Pythagoras bertumbukan antara modus diskrit dan aritmatika dan konsep intuitif berkesinambungan geometri telah menyebabkan teka-teki, dan solusi dari teka-teki telah mempengaruhi perkembangan geometri dan analisis.
Simbol untuk angka yang ada ditulis dengan abjad fonetik. Berbeda dengan kata-kata biasa. Misalnya, simbol 8 singkatan dari ide yang sama kepada orang di Jepang, yang membacanya sebagai hachi, orang di Italia yang membacanya sebagai otto, dan orang di Rusia,yang membacanya sebagai vosem. Pengenalan simbol seperti + dan = yang merupakan bentuk operasi umum dan hubungannya dengan matematika telah menyebabkan kejelasan bahwa matematika telah memulai dari ketidakjelasan itu menjadi nonmathematical. Meskipun dalam menaungi aljabar menjadi sadar akan penggunaan simbolisme, simbol yang digunakan di wahana lain seperti aljabar, dianggap sebagai proses studi yang terbalik dengan orang-orang dari aritmatika, yang pada awalnya belajar tanpa simbol. Pembuatan simbol telah menjadi kebiasaan manusia selama ribuan tahun. Sebagai contoh awal yaitu lukisan dinding di gua-gua di Perancis dan Spanyol, meskipun salah satu mungkin cenderung dianggap sebagai gambar dan bukan simbol. Fonetik huruf, yang membentuk simbolis, representasi visual dari suara, adalah contoh lain awal pembuatan simbol. Sebuah spektrum yang sama menampilkan dirinya dalam banyak cara dimana insan menyampaikan instruksi satu sama lain. Semua representasi simbolis mengeksploitasi dasar kemampuan insan untuk membuat korespondensi dan memahami analogi.
Klimaksnya, inferensi atau penalaran matematis pada awalnya berupa numerik atau geometris, yang melibatkan baik dengan menghitung atau "melihat" hubungan tertentu dalam geometri. Tapi dengan ilmu Pythagoras, penalaran verbal datang untuk menyerap geometri dan aritmatika, melengkapi visual dan numerik.
Adapun time line sejarah matematika dapat tertuang sebagai berikut.
Bilangan dicerminkan dengan misalnya menghitung benda-benda yang berbeda tapi sama dalam penampilan, seperti koin, meja, dan sapi adalah kegiatan universal insan sebagai bahasa untuk mengekspresikan angka. Hal pertama yang terunik dan terukir dalam benak yaitu menghitung menggunakan potongan lidi yang berukuran sama.
Bangun geometri  berhubungan erat dengan pengukuran praktis. Mengingat contoh yang konkret, orang-orang Babilonia dari tahun 2000 sampai 1600 SM tentu sudah mengenal aturan umum bagi luas segi empat siku-siku, luas dari segitiga siku-siku dan segitiga sama kaki , luas trapezium dengan salah satu kaki tegak lurus dengan sepasang sisi sejajar dan lebih umum dengan volume prisma tegak dengan alas trapezium. Ciri utama dari geometri Babilonia adalah bercorak aljabaris. Persoalan-persoalan yang lebih pelik yang tersimpul dalam peristilahan geometri pada dasarnya merupakan soal-soal aljabar yang bukan sederhana (nontrivial). Dalam sejarah matematika diriku, bangun geometri yang  dikenal sejak SD sampai sekarang menginjak bangku perkuliahan adalah sebuah bidang datar yang diperkenalkan dengan alat peraga seperti lingkaran, persegi, persegi panjang, trapezium, jajargenjang, segitiga dan sebagainya. Bangun datar ini mempunyai luas dan keliling, sehingga nantinya dapat dihitung berapa luas dan kelilingnya. Ternyata bangun geometri dapat dibagi menjadi dua yaitu geometri Euclid dan geometri non Euclid.
Phytagoras menjadi salah satu inspirasi sekaligus penyemangat untuk mengarungi lautan matematika. Konon dahulu nama itu sering digunakan sebagai nama panggilan diriku. Salah satu peninggalan Phytagoras yang terkenal adalah teorama Phytagoras, dia menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya. Ternyata setelah diamati rumus atau teorema yang ditemukan oleh Phytagoras adalah benar, hal ini dapat dimanfaatkan oleh banyak insan terutama para tukang bangunan dalam membuat atap rumah.
Geometri Euclides ditemukan oleh Euclides. Alat-alat Euclid misalnya mistar dan jangka. Dengan mistar atau penggaris kita dapat melukis garis lurus yang panjangnya tak terbatas melalui dua titik yang berlainan. Dengan jangka kita dapat melukis sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari tertentu.
Sedangkan geometri non Euclid sungguh sangat sulit ditafsirkan. Setelah mengerti dan mempelajari benar tentang geometri, ternyata Geometri Non Euclid adalah hipotesis-hipotesis dari tokoh lain selain Euclid yang semakin memperbaharui dan melengkapi postulat-postulat tentang geometri tersebut.
Alangkah kurang puasnya jika dipaparkan semua time line sejarah matematika yang ada.  Masih banyak yang lainnya yang mungkin bila disebutkan satu persatu akan membuat sebuah novel yang menarik. Semasa hidup di dunia banyak sekali bagian dari time line yang telah dipelajari. Dan ditakutkan memunculkan ketidakpuasan akan untaian kata yang hanya setengah-setengah.
Time line merupakan salah satu metode sejarah matematika. Sedangkan yang lainnya kualitas yang didukung dengan kuantitas, intensivitas dan ekstensivitas, abstraksi dan idealisasi, pembelajaran sosial, sejarah, pendiskripsian, hakekat, manfaat, etika, dan estetika. Semua itu menjadi jembatan yang kokoh dalam proses sejarah matematika.
Suatu hal yang berkaitan dalam diri insan yaitu etika dan berhubungan erat dengan manfaat serta estetika terangkum sebuah kata aksiologi. Aksiologi merupakan salah satu metode yang penting dalam sejarah matematika. Etika sejarah matematika dapat diartikan sebagai tindakan manusia yang menggunakan kebaikan, kebenaran, suara hati untuk mencari kebenaran matematika melalui sejarah matematika secara bertanggungjawab. Tetapi tidakkah harus berpusing ketika mencari sebuah kebenaran dengan mengambil salah satu sisi positif dari estetika sejarah matematika. Estetika sejarah matematika merupakan keindahan berada dalam sejarah matematika yang dapat dinikmati secara kontinu. Keindahan inilah yang menbuat diri ini tak bosan-bosannya untuk menggali dan terus menggali ilmu matematika. Dan juga implementasi untuk keseharian tidak henti-hentinya.
Tersirat untuk mengatakan pada intinya sejarah matematika bagian dari hidup diriku yaitu rekaman alur kehidupan dan ilmu matematika yang diperoleh serta dimengerti merupakan matematika diriku sendiri. Karena matematikaku merupakan pikiranku, matematika hanya ada dalam penglihatanku yang sebenarnya merupakan diriku sendiri. Inilah akhir dari segala proses pencapaian tujuan bahwa matematika adalah diriku.

Referensi Pendukung :
http://blog.student.uny.ac.id/lucia/files/2011/06/tugas-akhir-sejarah-mat2.pdf