Tugas Sejarah Matematika ke-9

Semua tentang Matematika

Matematika berada dalam dimensi relatif terhadap ruang dan waktu. Karena di dunia hanya terdiri dari ruang dan waktu. Matematika dapat dipilah menjadi empat bagian dengan probabilitas masing-masing 25% yaitu ilmu, struktur, kreativitas, dan proses. Matematika yang dipelajari akan selalu berkembang sesuai proporsinya. Siswa TK dan SD  mempelajari matematika konkret. Konsep matematika konkret merupakan pandangan Aristoteles (384-322 SM). Sedangkan siswa SMP mempelajari model matematika konkret. Terakhir siswa SMA dan mahasiswa Perguruan Tinggi mempelajari matematika formal dan model matematika formal.

Suatu kajian matematika yang selalu dirindukan sebenarnya ada dalam pikiran dan di luar pikiran. Sehingga Matematika dibedakan menjadi idealisasi dan abstraksi. Konsep idealisasi disampaikan oleh Plato(427-349 SM). Menurutnya realitas itu ada dan tidak terikat pikiran manusia. Suatu sistem dikatakan benar jika suatu pernyataan menjelaskan keadaan sesungguhnya dari realitas yang terbebas dari pikiran. Sedangkan Pernyataan Plato yang terkenal adalah “ Sesuatu adalah saya sebagaimana hal itu terjadi pada saya, dan sesuatu itu adalah kamu sebagaimana hal itu terjadi pada kamu”.

Plato meyakini bahwa benda-benda di alam semesta terbagi ke dalam dua kelas, yaitu yang berbentuk materi dan non materi. Benda-benda seperti matahari, pohon, binatang berbentuk materi, sementara kebaikan, keburukan, jiwa seorang 5 manusia termasuk kaategori non materi. Suatu gambar empat persegi panjang termasuk kategori materi, tetapi persegi panjang itu sendiri termasuk ke dalam kategori non materi.

Ada banyak hal yang dapat ditempuh dalam menggali matematika melalui pikiran dan pengalaman seperti pernyataan dari Imanuel Kant. Imanuel Kant seorang filsuf dari Rusia mengungkapkan teori mengenai “The Nature of Knowledge”. Menurut Kant pengetahuan diperoleh dari pengalaman dan pemikiran logika manusia. Melalui pengalaman manusia melihat dan merasakan langsung dengan empiri, intuisi, sensasi. Sedangkan dengan pemikiran logika, pengetahuan dapat diperoleh melalui persepsi, ide, pure, konsep, ilmu pengetahuan, pemutusan /judgement.

            Seperti halnya sungai yang mempunyai aliran,aliran dalam matematika antara lain formalisme, intuisionisme, dan logisisme. Salah satu tokoh penganut formalisme adalah David Hilbert (1642 –1943). David berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda lingistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2, atau II. Formalis memandang matematika sebagai suatu permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, seperti aturan (Ernest, 1991).

Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua tesis, yaitu

1.      Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.

2.      Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.

Selanjutnya intuisionis seperti L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994).

Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksima-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusifpada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991). Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain; (1) intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; (2) matematisi intusionisme adalah manusia yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Intusionisme, menjawab keberatan tersebut seperti berikut; (1) tidak ada yang dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkan suatu dunia tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg daripada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).

Yang terakhir, logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Pengakuan Bertrand Russell menerima logisime karena paling jelas dan rumusannya sangat ekspilisit. Dua pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu (1) semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika; (2) semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata (Ernest, 1991). Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain:

1. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.

2. Teorema Ketidaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika.

3. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.

            Setiap aliran dalam matematika mempunyai kekurangan dan kelebihan tergantung konteks yang digunakan. Matematika tidak cukup dipandang sebagai ilmu saja. Matematika mempunyai isi dan wadah berupa obyek dan metode. Karena pada kenyataannya matematika sebenarnya adalah diri ini.

Referensi :

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195401211979031-ENDANG_MULYANA/MAKALAH/Aliran_matematika.pdf diakses pada Minggu, 13 Mei 2012 pukul 22:38 WIB

http://mathematicsismyself.blogspot.com/ diakses pada Minggu, 13 Mei 2012 pukul 22:41 WIB

Tugas Sejarah Matematika ke-8

Review of The History of Set

Himpunan merupakan kumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi, kelas. Objek merupakan anggota atau elemen dari himpunan. Sedangkan objek dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak. Contohnya, himpunan mahasiswa matematika 2010.

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar seperti A, B, C, ..., X, Y, Z. Elemen himpunan dinyatakan dengan menggunakan huruf kecil seperti a, b, c, ..., x, y, z. Cara sederhana dan mudah untuk menggambarkan relasi antara dua himpunan adalah dengan menggunakan diagram Venn-Euler. Daerah di dalam kurva tertutup pada diagram ini mewakili objek-objek yang dimaksud.

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja. Sehingga ada dua metode dalam penulisan himpunan yaitu

1.      Metode Roster yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam tanda kurung {...........}

contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

2.      Metode Rule yaitu menggunakan notasi pembentuk himpunan dengan menyebutkan syarat keanggotaannya

contoh: N = {x|x adalah bilangan asli}

Jenis himpunan antara lain himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan berhingga (finit), himpunan tak berhingga (infinit). Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, notasi { }. Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua objek yang sedang dibicarakan, notasi S atau U. Suatu himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen berbeda yang banyaknya tertentu (berhingga). Suatu himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen berbeda yang banyaknya tak berhingga.

 Adapun jenis himpunan berdasarkan elemennya antara lain

1.      Himpunan bagian ( Ì atau  É )

Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota himpunan A adalah anggota himpunan B. Ditulis : A Ì B atau B ÉA.

Contoh  A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d} maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

2.      Himpunan Sama ( = )

Dua himpunan A dan B adalah sama, jika tiap elemen himpunan A adalah elemen himpunan B, dan tiap elemen himpunan B adalah elemen himpunan A. Ditulis A = B. Contoh  K = {x | x²-3x+2=0} dan L = {2,1} maka K = L

3.      Himpunan lepas ( // )

Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B. Ditulis A // B.

Contoh  A = {a,b,c} dan B = {k,l,m} Maka A // B

4.      Himpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

Contoh N = {1,2,3,4,5,6,......}

5.      Himpunan bilangan prima

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

Contoh P = {2,3,5,7,11,13,....}

6.      Himpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

Contoh C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

7.      Himpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

Contoh B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

8.      Himpunan bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q ϵ bilangan bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

Contoh D = {0,-2, 2/7, 5, 2/11}

9.      Himpunan bilangan irasional

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

Contoh log 2, e, Ö7

10.  Himpunan bilangan riil

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

Contoh  log 10, 5/8, -3, 0, 3

11.  Himpunan bilangan imajiner

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1.

Contoh  i, 4i, 5i

12.  Himpunan bilangan kompleks

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b ϵ R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

Contoh  2-3i, 8+2i

            Matematikawan yang berkecimpung di dunia himpunan yaitu  Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918),  Bolzano, Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974), Ernst Zermello (1871-1953), Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963).

Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor (1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Beliau dianggap sebagai bapak teori himpunan karena beliaulah yang pertamakali mengembangkan cabang matematika ini. Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga.

Ide infinity telah menjadi subjek pemikiran yang mendalam sejak zaman Yunani. Zeno dari Elea , di sekitar 450 SM, dengan masalah tak terbatas, membuat kontribusi awal yang besar. Pembahasan abad pertengahan tentang konsep tak terbatas telah menyebabkan penemuan konsep himpunan tak terbatas. Misalnya Albert dari Sachsen , di subtilissime Questiones di libros de celo et Mundi, membuktikan bahwa balok panjang tak terbatas memiliki volume yang sama seperti ruang (3 dimensi). Beliau membuktikan hal ini dengan menggergaji balok menjadi potongan-potongan imajiner yang kemudian merakit ke dalam cangkang konsentris yang berurutan yang mengisi ruang. Bolzano adalah seorang filsuf dan matematikawan pemikir besar. Pada 1847 beliau menganggap himpunan sebagai perwujudan dari ide atau konsep yang dibayangkan ketika menganggap susunan komponen sebagai masalah ketidakpedulian.

Bolzano membela konsep sebuah himpunan tak terhingga. Bolzano memberi contoh bahwa tidak seperti untuk menetapkan terbatas, unsur-unsur dari suatu himpunan tak terhingga bisa dimasukkan ke dalam korespondensi 1-1 dengan unsur-unsur dari salah satu himpunan bagian yang tepat.

            Penelitian dari Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori rangkaian tanpa batas dan topik terkait analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai paradoks Russell.

Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah aksiomatis teori himpunan intuitif Cantor. Aksiomatisasi berarti suatu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam Principia. Sebuah teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logis sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). Hal ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.

Cantor meneliti asal teori himpunan pada tahun antara 1874 dan 1884. Sebelum pekerjaan ini, konsep dari suatu himpunan yang mendasar telah digunakan secara implisit sejak awal matematika seperti ide-ide Aristoteles . Tidak ada seorang pun menyadari bahwa teori himpunan punya konten trivial. Sebelum Cantor, hanya ada himpunan yang terbatas (yang mudah dimengerti) dan "tak terbatas" (yang dianggap topik untuk filosofis, bukan matematika, diskusi). Dengan membuktikan bahwa ada (tak terbatas) ukuran banyak kemungkinan untuk himpunan yang tak terbatas, Cantor menetapkan bahwa teori himpunan tidak sepele, dan itu perlu dipelajari. Teori himpunan telah datang untuk memainkan peran sebagai teori dasar dalam matematika modern, dalam arti bahwa beliau menafsirkan proposisi tentang obyek matematika (misalnya, angka dan fungsi) dari seluruh wilayah tradisional matematika (seperti aljabar , analisis dan topologi ) dalam teori tunggal, dan menyediakan satu himpunan standar aksioma untuk membuktikan atau menyangkal mereka.

Cantor juga membuktikan bahwa himpunan bilangan real adalah "lebih banyak" dari himpunan bilangan asli , ini menunjukkan bahwa tidak ada himpunan tak terbatas yang berbeda ukuran. Beliau juga yang pertama menemukan  korespondensi satu-satu (selanjutnya dilambangkan "korespondensi 1-1") dalam menetapkan teori. Dia menggunakan konsep ini untuk mendefinisikan himpunan terbatas dan tak terbatas . Pengelompokan yang terakhir ke denumerable himpunan (atau countably tak terbatas) dan himpunan terhitung (himpunan terbatas nondenumerable).

Pada tahun 1874 kertas Crelle Cantor adalah yang pertama menjelaskan korespondensi 1-1, meskipun beliau tidak menggunakan frase itu. Beliau kemudian mulai mencari korespondensi 1-1 antara titik-titik dari unit persegi dan poin dari unit segmen garis. Dalam sebuah surat 1877 untuk Dedekind, Cantor membuktikan jauh lebih kuat. Hasilnya untuk tiap himpunan n bilangan bulat positif, terdapat korespondensi 1-1 antara titik-titik pada ruas garis unit dan semua titik dalam ruang n-dimensi . Hal ini Cantor menulis kepada Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas!" ("Aku melihatnya, tapi saya tidak percaya!"). Hasil yang beliau menemukan begitu menakjubkan memiliki implikasi untuk geometri dan konsep dimensi .

Pada tahun 1878, Cantor menyerahkan kertas lain untuk Jurnal Crelle, di mana ia mendefinisikan secara akurat konsep korespondensi 1-1, dan memperkenalkan konsep " kekuasaan "(istilah yang diambilnya dari Jakob Steiner ) atau "kehimpunanaraan" himpunan : dua himpunan adalah himpunan sama (memiliki kekuatan yang sama) jika terdapat korespondensi 1-1 di antara mereka. Cantor mendefinisikan himpunan dapat dihitung (atau himpunan denumerable) sebagai himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam korespondensi 1-1 dengan bilangan asli , dan membuktikan bahwa bilangan rasional adalah denumerable.

Cantor mengembangkan konsep penting dalam topologi dan hubungannya dengan kardinalitas. Misalnya, beliau menunjukkan bahwa himpunan Cantor memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan semua bilangan real.

Cantor diperkenalkan konstruksi fundamental dalam teori himpunan, seperti kekuatan himpunan dari himpunan A, yang merupakan himpunan semua kemungkinan himpunan bagian dari A. Beliau kemudian membuktikan bahwa ukuran dari kekuatan himpunan adalah sangat lebih besar dari ukuran A, bahkan ketika A adalah himpunan yang tak terbatas. Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cantor .

Cantor mengembangkan seluruh teori dan aritmatika terbatas pada himpunan , yang disebut kardinal dan ordinal dari alam nomor. Notasinya untuk nomor kardinal adalah surat Ibrani ( aleph ) dengan subskrip nomor alam, karena ordinal menggunakan huruf Yunani ω (omega ).  Notasi ini masih digunakan sampai sekarang.

Awal teori himpunan sebagai cabang matematika sering ditandai dengan terbitnya tahun 1874 artikel Cantor, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Pada Properti dari Koleksi Semua Nomor Aljabar Real") . Artikel ini adalah yang pertama untuk memberikan bukti ketat yang ada lebih dari satu jenis tak terbatas.

Beliau juga membuktikan bahwa n-dimensi Euclidean ruang R ⁿ memiliki kekuatan yang sama dengan bilangan real R, seperti halnya countably tak terbatas produk salinan R. Sementara ia membuat bebas menggunakan akuntabilitas sebagai sebuah konsep, ia tidak menulis kata "dihitung" sampai 1883. Cantor juga membahas pemikirannya tentang dimensi , menekankan bahwa pemetaan antara selang satuan dan unit persegi bukan terus menerus satu.

Antara 1879 dan 1884, Cantor menerbitkan serangkaian enam artikel dalam Mathematische Annalen merupakan sebuah pengantar teori himpunannya. Pada saat yang sama, ada oposisi tumbuh untuk gagasan Cantor, yang dipimpin oleh Kronecker, yang mengaku konsep matematika hanya dapat dibangun dalam terbatas dari alam nomor, sebagai intuitif. Untuk Kronecker, hirarki Cantor dari konsep tak terbatas itu adalah tidak dapat diterima, karena menerima konsep infinity sebenarnya akan membuka pintu untuk paradoks yang akan menantang keabsahan matematika secara keseluruhan.

Kertas kelima dalam seri ini, adalah "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Dasar-dasar Teori Umum Agregat"), diterbitkan pada tahun 1883, yang paling penting dari enam dan juga diterbitkan sebagai monografi terpisah. Isinya kritikan dan menunjukkan bagaimana nomor transfinite adalah ekstensi sistematis dari alam nomor. Ini dimulai dengan mendefinisikan tertata baik himpunan. Nomor urut yang kemudian diperkenalkan sebagai jenis urutan yang tertib himpunan.

Cantor kemudian mendefinisikan penjumlahan dan perkalian dari kardinal angka dan ordinal. Pada tahun 1885, Cantor memperluas teori tipe order sehingga angka-angka ordinal hanya menjadi kasus khusus dari tipe order.

Pada tahun 1891, beliau menerbitkan sebuah kertas yang berisi "argumen diagonal" untuk keberadaan sebuah himpunan terhitung. Beliau menerapkan ide yang sama untuk membuktikan Teorema Cantor : yang kardinalitas dari himpunan kekuatan himpunan A adalah sangat lebih besar dari kardinalitas A.  Argumennya adalah fundamental dalam solusi dari masalah untuk menghentikan bukti dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang ditulis Cantor pada dugaan Goldbach pada tahun 1894.

Pada tahun 1895 dan 1897, Cantor menerbitkan kertas dua bagian dalam Mathematische Annalen di bawah keredaksian Felix Klein . Makalah terakhirnya yang signifikan pada teori himpunan. Makalah pertama dimulai dengan mendefinisikan himpunan, bagian , dll, dengan cara yang akan sangat diterima sekarang. Para kardinal dan ordinal aritmatika ditinjau. Cantor ingin kertas kedua untuk menyertakan bukti dari rangkaian hipotesa, tetapi harus menetapkan nomor urut. Cantor mencoba untuk membuktikan bahwa jika A dan B adalah himpunan sama dengan A merupakan subhimpunan dari B dan B merupakan subhimpunan dari A, maka A dan B adalah himpunan sama. Ernst Schröder telah menyatakan teorema ini sedikit lebih dulu, tapi bukti, seperti juga dengan kisah Cantor, adalah cacat. Felix Bernstein diberikan bukti yang benar pada tahun 1898 tesis PhDnya; maka dinamakan teorema Cantor-Bernstein-Schroeder  .

Diskusi himpunan-teori paradoks mulai muncul sekitar akhir abad kesembilan belas. . Beberapa masalah mendasar yang tersirat dengan program menetapkan teori Cantor . Dalam makalah 1897 pada topik yang tidak berhubungan, Cesare Burali-Forti menetapkan paradoks seperti pertama, Burali-Forti paradoks : yang nomor urut dari himpunan semua ordinals harus menjadi ordinal dan ini menyebabkan kontradiksi. Cantor ditemukan paradoks ini pada tahun 1895, dan menggambarkannya dalam sebuah surat tahun 1896 untuk Hilbert . Kritik dipasang ke titik di mana Cantor meluncurkan kontra-argumen pada tahun 1903, dimaksudkan untuk membela prinsip dasar dari teori himpunan-nya.

Pada tahun 1899, Cantor menemukan paradoks : apa jumlah kardinal dari himpunan semua himpunan? Namun untuk tiap himpunan A, jumlah kardinal dari himpunan kuasa dari A adalah sangat lebih besar dari jumlah kardinal A (fakta ini sekarang dikenal sebagai Teorema Cantor ). Paradoks ini, bersama dengan Burali-Forti, yang dipimpin Cantor untuk merumuskan konsep yang disebut pembatasan ukuran  yang menurutnya koleksi semua ordinals, atau dari semua kelompok, merupakan sebuah "multiplisitas tidak konsisten" yang "terlalu besar" untuk menjadi satu himpunan. Koleksi tersebut kemudian dikenal sebagai kelas yang tepat .

Referensi :

http://en.wikipedia.org/wiki/Himpunan_theory diakses pada Senin, 7 Mei 2012 pukul 01:54 WIB

http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor diakses pada Senin, 7 Mei 2012 pukul 02:00 WIB

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/history.htm diakses pada Senin, 7 Mei 2012 pukul 02:09 WIB

http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/himpunan-theory/ diakses pada Senin, 7 Mei 2012 pukul 02:19 WIB

Buku Man of Mathematics Karya E. T. Belle Penerbit Simon dan Schuster