Tugas Sejarah Matematika ke-4

Kualitatif dan Kuantitatif Sejarah Matematika

            Dalam mempelajari sejarah matematika harus memperhatikan aspek kualitatif dan kuantitatif. Dalam artian pengetahuan akan berkembangnya matematika merupakan komponen penting. Cakupan semakin luas semakin menarik dan asyik mengarungi samudera matematika. Terlebih karena mengerti dan memahami seluk beluk sesuatu hal tentang matematika itu muncul. Diri terasa menjadi lebih matematika. Tak ada kata terlambat untuk melangkahkan di dunia matematika. Kapanpun dimanapun diri inilah adalah matematika. Jejak pertama diri ini memaparkan memori sejarah matematika tentang determinan, segitiga pascal, dan kalkulus.

A.      Determinan

Seki Kowa mempublikasikan konsep determinan pertama kali di Jepang tahun 1683. Seki menulis buku Method of Solving the dissimulated problems yang memuat metode matriks. Akan tetapi Seki Kowa belum menggunakan istilah determinan dalam memaparkan konsep determinan ini. Walaupun Seki Kowa telah memperkenalkan bentuk determinan dan memberi metode umum untuk menghitungnya. Seki Kowa menemukan determinan khusus untuk matriks ordo 2 x 2, 3 x 3 , 4 x 4, 5 x 5 saja.

Setelah itu diikuti Leibniz dalam suratnya ke 1’Hopital tahun 1683 di Eropa menjelaskan sistem persamaan misalnya :

10+11x+12y=0

20+21x+22y=0

30+31x+32y=0

Hanya memiliki satu penyelesaian karena 10.20.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30 yang tidak lain merupakan syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz sesungguhnya tidak bermaksud menggunakan bilangan, adapun yang dinyatakan dengan 21 adalah a₂₁­. Leibniz menggunakan istilah resultant untuk kombinasi hasil kali koefisien dari determinan tersebut.

Seiring bergulirnya waktu Maclurin menulis Treatise of algebra pada tahun 1730 dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku memuat pembuktian Aturan Cramer untuk matriks 2 x 2 dan 3 x 3. Selajutnya konsep determinan diperjelas oleh Cramer pada tahun 1750 dalam buku Introduction to the analysis of algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan Cramer pada matriks n x n tetapi tidak ada bukti yang diberikan. Tahun 1764, Bezout memberikan sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde pada tahun 1771. Dan tidak kalah pentingnya tahun 1722, Laplace menggambarkan aturan ekspansi Laprace dan ia menamakan determinan dengan resultant.

Istilah determinan pertama kali digunakan oleh Gauss dalam Disquistiones arithmeticae (1801). Dalam buku tersebut terdapat dalam pembahasan bentuk-bentuk kuadrat dengan menggunakan determinan. Cauchy pada tahun 1812 memaparkan istilah Eliminasi Gauss, yang telah digunakan di Cina tahun 200 SM dimana orang pertama menggunakan istilah determinant dalam konteks modern. Karya-karya Cauchy hampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis konsep ‘minor’ dan ‘adjoints’, serta hasil kali matriks. Dalam karya tahun 1841 ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk menunjukkan determinan.

Dalam saat ini konsep Cauchy dapat dinyatakan seperti berikut.

Determinan dengan Minor dan kofaktor

Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada i.
det(A3x3)

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

B.      Segitiga Pascal

Gambaran awal muncul pada abad ke-10 dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba dalam prosodi bahasa Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5–ke-2 SM. Karya Pingala juga dipaparkan oleh Halayudha, sekitar 975, menggunakan sebuah segitiga untuk menjelaskan sebutan kabur pada Meru-prastaara, “Tangga Gunung Meru”. Selanjutnya ahli matematika India Bhattotpala (1068) memberikan barisan angka 0 sampai16 pada segitiga tersebut.

Pada waktu yang sama, di Parsi (Iran) oleh ahli matematika Al-Karaji (953–1029) dan penyajak-ahli nujum-matematik Omar Khayyám (1048-1131) mengkaji segitiga dan menyebutkan segitiga pascal sebagai “segitiga Khayyam” di Iran. Segitiga Khayyam menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berdasarkan pengembangan binomial.

Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) di China menyampaikan segitiga aritmetik, yang hampir sama dengan segitiga pascal. Dikenal sebagai “segi tiga Yang Hui”. Tak kalah di Itali segitiga paskal disebut sebagai “segitiga Tartaglia”, dinamakan untuk ahli algebra Itali Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum Pascal (1500-1577). Tartaglia diwujudkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).

Petrus Apianus ( 1495 -1552 ) menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi depan bukunya tentang perniagaan 1531/32 dan suatu versi asal pada 1527 yang merupakan rekod pertamanya di Eropah.

Pada 1655, Blaise Pascal menulis sebuah Traité du triangle arithmétique (Perjanjian pada segitiga aritmetik), yaitu dia mengumpul beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segitiga itu, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segitiga itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort (1708) dan Abraham de Moivre (1730). Sehingga dikenal sebagai segitiga pascal hingga saat ini.

C.     Kalkulus

 Perkembangan kalkulus melai zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa konsep kalkulus integral telah namun tidak dikembangkan dengan baik. Perhitungan volume dan luas yang merupakan komponen utama dari kalkulus integral oleh Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan konsep ini dengan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor^[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak saat itu kalkulus dibedakan menjadi dua yaitu kalkulus integral dan kalkulus diferensial atau turunan.